京大 2010年 理系 第4問

とする。3辺の長さがである鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このときを用いてを表せ。

解答例

△ABCにおいて
\begin{eqnarray}
\mathrm{AB} &=& \sqrt{3} \\
\mathrm{BC} &=& a \\
\mathrm{CA} &=& b
\end{eqnarray}とします。

正弦定理により
\begin{equation}
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{\sqrt{3}}{\sin C} = 2 \times 1
\end{equation}が成り立ちます。
これより
\begin{eqnarray}
\sin C &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\sin A &=& \frac{a}{2} \\
\sin B &=& \frac{b}{2}
\end{eqnarray}となります。

は鋭角なので
\begin{eqnarray}
C &=& 60^\circ \\
B &=& 120^\circ -A
\end{eqnarray}です。
また、も鋭角なので
\begin{equation}
\cos A = \sqrt{1 -\frac{a^2}{4}}
\end{equation}です。

よって、
\begin{eqnarray}
b &=& 2\sin B \\
&=& 2\sin (120^circ -A) \\
&=& 2\sin 120^\circ \cos A -2\cos 120^\circ \sin A \\
&=& \sqrt{3} \sqrt{1 -\frac{a^2}{4}} +\frac{a}{2} \\
&=& \frac{a +\sqrt{-3a^2 +12}}{2}
\end{eqnarray}となります。
加法定理・まとめ - 数式で独楽する

解説

三角形の3辺の長さと外接円の半径が出ているので、正弦定理を用います。
1辺の長さが確定しており、1角の大きさが確定します。
あとは加法定理を用います。