\begin{eqnarray}
\sin \alpha \cos \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right \} \tag{1} \\
\cos \alpha \sin \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) \right \} \tag{2} \\
\cos \alpha \cos \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right \} \tag{3} \\
\sin \alpha \sin \beta &=& \frac{1}{2} \left \{ -\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right \} \tag{4}
\end{eqnarray}
加法定理より導くことができます。
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\sin (\alpha +\beta) &=& \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \tag{5} \\
\cos (\alpha + \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \tag{6} \\
\sin (\alpha - \beta) &=& \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \tag{7} \\
\cos (\alpha - \beta) &=& \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \tag{8}
\end{eqnarray}
{式(5)+式(7)}÷2とすると、
\begin{equation}
\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left \{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right \} \tag{1}
\end{equation}が得られます。
{式(5)-式(7)}÷2とすると、
\begin{equation}
\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left \{ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) \right \} \tag{2}
\end{equation}が得られます。
{式(6)+式(8)}÷2とすると、
\begin{equation}
\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left \{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right \} \tag{3}
\end{equation}が得られます。
{-式(6)+式(8)}÷2とすると、
\begin{equation}
\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left \{ -\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right \} \tag{4}
\end{equation}が得られます。
加法定理をプラス、マイナスの両方を用意して、足して2で割る、または引いて2で割るとすればよいのですね。
