\begin{equation}
\alpha = 1 +\sqrt{3} i
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\frac{(2 + \alpha)^6}{\alpha^3}
\end{equation}を求めよ。
この問題は、強引にオイラーの公式を用いて解くことが可能です。
オイラーの公式の証明 - 数式で独楽する
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
まず、は、
\begin{eqnarray}
\alpha &=& 1 + \sqrt{3} i \\
&=& 2 \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) \\
&=& 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \\
&=& 2e^{\pi i/3} \tag{1}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
次に、
\begin{eqnarray}
2 + \alpha &=& 3 + \sqrt{3} i \\
&=& 2\sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i \right) \\
&=& 2\sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) \\
&=& 2\sqrt{3}e^{\pi i/6} \tag{2}
\end{eqnarray}
と表すことができます。
よって、式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
\alpha^3 &=& 2^3 e^{\pi i} \\
&=& -2^3 \tag{3}
\end{eqnarray}
および
\begin{eqnarray}
(2 + \alpha)^6 &=& 2^6 \cdot 3^3 e^{\pi i} \\
&=& -2^6 \cdot 3^3 \tag{4}
\end{eqnarray}
となります。
途中で、
\begin{equation}
e^{\pi i} = -1
\end{equation}を用いています。
したがって、式(3), (4)より、
\begin{eqnarray}
\frac{(2 + \alpha)^6}{\alpha^3} &=&\frac{-2^6 \cdot 3^3}{-2^3} \\
&=& 2^3 \cdot 3^3 \\
&=& 216
\end{eqnarray}
となります。
