京大 2018年 理系 第3問

はを満たす定数とし、四角形ABCDに関する次の2つの条件を考える。

(i) 四角形ABCDは半径1の円に内接する。
(ii)

条件(i), (ii)を満たす四角形の中で、4辺の長さの積
\begin{equation}
k = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA}
\end{equation}が最大となるものについて、$k$の値を求めよ。

解答例

条件(i), (ii)より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BCA} = \angle \mathrm{CDA} = \pi - \alpha
\end{equation}です。四角形は等脚台形です。ここで、
\begin{eqnarray}
\mathrm{A} &&(\cos 2\theta, \sin 2\theta) \\
\mathrm{B} &&(\cos 2\theta, -\sin 2\theta) \\
\mathrm{C} &&(\cos 2\phi, -\sin 2\phi) \\
\mathrm{D} &&(\cos 2\phi, \sin 2\phi)
\end{eqnarray}とします。
条件(ii)より、
\begin{eqnarray}
\alpha &=& \frac{\pi}{2} -2\theta + \frac{\pi -(2\phi -2\theta)}{2} \\
&=& \pi -(\theta + \phi) \tag{1}
\end{eqnarray}です。
4辺の長さは、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\mathrm{AB} &=& 2\sin 2\theta \\
\mathrm{CD} &=& 2\sin 2\phi \\
\mathrm{BC} = \mathrm{DA} &=& 2\sin (\phi - \theta)
\end{eqnarray}
式(1)を踏まえて、
\begin{eqnarray}
k &=& \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA} \\
&=& 16 \sin 2\theta \sin 2 \phi \sin^2 (\phi - \theta) \\
&=& 8 \left \{ \cos 2(\phi -\theta) - \cos 2(\phi + \theta) \right \} \sin^2 (\phi -\theta) \\
&=& 8 \left[ \left \{ 1 - 2\sin^2 (\phi -\theta) \right \} - \left \{ 1 -2\sin^2 (\phi +\theta) \right \} \right] \\
&=& 16 \left \{ -\sin^2(\phi -\theta) +\sin^2 \alpha \right \} \sin^2 (\phi -\theta) \\
&=& 16 \left[ -\left \{ \sin^2(\phi -\theta) -\frac{1}{2} \, \sin \alpha \right \}^2 +\frac{1}{4} \, \sin^2 \alpha \right] \\
& \leqq & 4 \sin^2 \alpha
\end{eqnarray}を得ます。
これより、
\begin{equation}
\sin^2(\phi -\theta) =\frac{1}{2} \, \sin \alpha
\end{equation}のとき、最大値
\begin{equation}
k_{\mathrm{max}} = 4\sin^2 \alpha
\end{equation}となります。

解説

問題文に出ている条件から、四角形は等脚台形であることが分かります。
それを踏まえて4点の座標を定めれば、あとは計算問題です。