「チェバの定理」
三角形ABCについて、
BC上に点P、AC上に点Q、AB上に点Rを定め、
AP, BQ, CRが1点Oで交わるとき、\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}} \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}
チェバの定理は、三角形と3つの頂点を通る直線に関するわりと有名な定理です。
関連する辺の比の積が1となる、美しい形をしています。
証明は、いくつかあります。
本稿では、エレガントな方法を紹介します。
点Oが三角形の中でも外でも、
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} &=& \frac{\triangle \mathrm{OAB}}{\triangle \mathrm{O BC}} \\
\frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}} &=& \frac{\triangle \mathrm{O BC}}{\triangle \mathrm{OCA}} \\
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &=& \frac{\triangle \mathrm{OCA}}{\triangle \mathrm{OAB}}
\end{eqnarray}
が成り立ちます。*1
式中の△OAB等は、三角形の面積を表します。
よって、
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}} \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}
&=& \frac{\triangle \mathrm{OAB}}{\triangle \mathrm{O BC}} \frac{\triangle \mathrm{O BC}}{\triangle \mathrm{OCA}} \frac{\triangle \mathrm{OCA}}{\triangle \mathrm{OAB}} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
を得ることができます。
