四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をGとし、線分OGを
に内分する点をPとする。また、直線APと面OBCとの交点をA'、直線BPと面OCAとの交点をB'、直線CPと面OABとの交点をC'とする。このとき三角形A'B'C'は三角形ABCと相似であることを示し、相似比を求めよ。
解答例
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とします。
点G, Pは
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OG}} &=& \frac{1}{3} \, \left( \vec{a} + \vec{b} +\vec{c} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& \frac{t}{3} \, \left( \vec{a} + \vec{b} +\vec{c} \right)
\end{eqnarray}と表せます。
これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OP}} -\overrightarrow{\mathrm{OA}} \\
&=& \left( \frac{t}{3} -1 \right) \, \vec{a} +\frac{t}{3} \, \left( \vec{b} +\vec{c} \right)
\end{eqnarray}なので、A'は実数を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AA'}} &=& s \, \overrightarrow{\mathrm{AP}} \\
&=& s \, \left( \frac{t}{3} -1 \right) \, \vec{a} +\frac{st}{3} \, \left( \vec{b} +\vec{c} \right)
\end{eqnarray}と表すことができます。
したがって、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA'}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{AA'}} \\
&=& \left \{ 1 +s \left( \frac{t}{3} -1 \right) \right \} \, \vec{a} +\frac{st}{3} \, \left( \vec{b} +\vec{c} \right)
\end{eqnarray}となります。
A'は面OBC上にあるので、
\begin{equation}
1 +s \left( \frac{t}{3} -1 \right) = 0
\end{equation}です。これより
\begin{equation}
s = \cfrac{1}{1 - \cfrac{t}{3}} = \frac{3}{3 -t}
\end{equation}となります。
よって
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OA'}} = \frac{t}{3 -t} \left( \vec{b} +\vec{c} \right)
\end{equation}を得ます。
同様に、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OB'}} &=& \frac{t}{3 -t} \left( \vec{c} +\vec{a} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{OC'}} &=& \frac{t}{3 -t} \left( \vec{a} +\vec{b} \right)
\end{eqnarray}を得ます。
これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{A'B'}} &=&
\overrightarrow{\mathrm{OB'}} -\overrightarrow{\mathrm{OA'}} \\
&=& \frac{t}{3 -t} \left( \vec{a} -\vec{b} \right) \\
&=& -\frac{t}{3 -t} \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \tag{1}
\end{eqnarray}となります。
同様に、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{B'C'}} &=& -\frac{t}{3 -t} \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{C'A'}} &=& -\frac{t}{3 -t} \, \overrightarrow{\mathrm{CA}} \tag{3}
\end{eqnarray}を得ます。
式(1)~(3)は、△A'B'C'と△ABCの対応する3辺の比が等しいことを示しています。つまり、両者が相似であることを示しています。
相似比は
\begin{equation}
\frac{t}{3 -t}
\end{equation}です。
解説
点G, P, A'を順番にベクトルで表現していくことになります。
A'は面OBC上ということは、ベクトルは
の一次結合で表すことができることになります。
B,' C'についても同様で、△A'B'C'の各辺を△ABCの各辺で表現できることになります。
ベクトルを用いない解法があります。
2005年後期 京大 理系 第4問 別解 - 数式で独楽する
