「チェバの定理の逆」
三角形ABCについて、
BC上の点P、CA上の点Q、AB上の点Rが、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}を満たす場合、3直線AP,.BQ, CRは1点Oで交わる。
チェバの定理は、三角形と3つの頂点を通る直線に関するわりと有名な定理です。
関連する辺の比の積が1となる、美しい形をしています。
本稿では、チェバの定理の逆をみていきます。
では、証明にいきます。
まず、与えられた条件により、3点P, Q, Rは、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1 \tag{1}
\end{equation}を満たしています。
次に辺BC上に点P、辺CA上に点Qを定め、2直線AP, BQの交点をOとします。
さらに直線COと辺ABの交点をR'とします。
チェバの定理により、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR'}}{\mathrm{R'B}} =1 \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。
式(1), (2)を比較すると、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} = \frac{\mathrm{AR'}}{\mathrm{R'B}}
\end{equation}となります。
点RもR'もAB上にあるので、点Rと点R'は一致します。
以上より、3直線AP,.BQ, CRは1点Oで交わることが示されます。
