2006年後期京大文系第2問 - 数式で独楽する

△ABCの内心をPとする。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} +\overrightarrow{\mathrm{PB}} +\overrightarrow{\mathrm{PC}} = \vec{0}$ が成り立っている。このとき三角形は正三角形であることを示せ。

f:id:toy1972:20220120220726p:plain:w300

解答例
解説

解答例

内角A, B, Cの対辺の長さをそれぞれ $a,b,c$ とします。
三角形の内角の二等分線は、その角の対辺をその角を挟む2辺の比に内分します。
三角形の角の二等分線による対辺の分割 - 数式で独楽する

内心Pは内角の二等分線上にあるので、実数 $k,l$ を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& k \left( b \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +c \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right) \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& l \left( c \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} +a \, \overrightarrow{\mathrm{BA}} \right) \tag{2}
\end{eqnarray}と書くことができます。

式(2)は、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} -\overrightarrow{\mathrm{AB}} = l \left \{ c \left( \overrightarrow{\mathrm{AC}} -\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right) -a \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right \}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1 -la -lc) \overrightarrow{\mathrm{AB}} +lc \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{3}
\end{equation}と書き換えることができます。

式(1), (3)より、次の式(4), (5)が同時に成り立ちます。
\begin{eqnarray}
kb &=& 1 -la -lc \tag{4} \\
kc &=& lc \tag{5}
\end{eqnarray}これより、
\begin{equation}
k = l = \frac{1}{a +b +c} \tag{6}
\end{equation}となります。

式(1), (2), (6)より、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& \frac{b \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +c \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{a +b +c} \tag{7} \\
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& \frac{c \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} +a \, \overrightarrow{\mathrm{BA}}}{a +b +c} \tag{8}
\end{eqnarray}を得ます。
同様にして、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \frac{a \, \overrightarrow{\mathrm{CA}} +b \, \overrightarrow{\mathrm{CB}}}{a +b +c} \tag{9}
\end{equation}も得ます。
三角形の内心の位置ベクトルその2 - 数式で独楽する

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とすると、式(7)～(9)は次のようになります。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& \frac{b \, \vec{b} +c \, \vec{c}}{a +b +c} \tag{10} \\
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& \frac{c \left( \vec{c} -\vec{b} \right) -a \, \vec{b}}{a +b +c} &=& \frac{(-a -c) \, \vec{b} +c \, \vec{c}}{a +b +c} \tag{11} \\
\overrightarrow{\mathrm{CP}} &=& \frac{-a \, \vec{c} +b \, \left( \vec{b} -\vec{c} \right)}{a +b +c} &=& \frac{b \, \vec{b} +(-a -b) \, \vec{c}}{a +b +c} \tag{12}
\end{eqnarray}

式(10)～(13)と $\overrightarrow{\mathrm{PA}} +\overrightarrow{\mathrm{PB}} +\overrightarrow{\mathrm{PC}} = \vec{0}$ より、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} +\overrightarrow{\mathrm{BP}} +\overrightarrow{\mathrm{CP}} = \frac{(2b -a -c) \, \vec{b} +(2c -a -b) \, \vec{c}}{a +b +c} = \vec{0}
\end{equation}を得ます。 $\vec{b}, \, \vec{c}$ は一次独立なので、
\begin{eqnarray}
2b -a -c &=& 0 \\
2c -a -b &=& 0
\end{eqnarray}が同時に成り立ちます。
これより、
\begin{equation}
b = c = a
\end{equation}を得ます。
つまり、三角形は正三角形であることが示されました。(証明終わり)