2005年後期京大理系第4問別解

四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をGとし、線分OGを $t : 1 -t \ (0 < t < 1)$ に内分する点をPとする。また、直線APと面OBCとの交点をA'、直線BPと面OCAとの交点をB'、直線CPと面OABとの交点をC'とする。このとき三角形A'B'C'は三角形ABCと相似であることを示し、相似比を求めよ。

解答例
解説

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解答例

辺BC, CA, ABの中点をそれぞれA₀, B₀, C₀とします。重心Gは3中線の交点であり、中線を2:1に内分します。
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ここで断面OAA₀を考えます。
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メネラウスの定理より、
メネラウスの定理まとめ - 数式で独楽する
 メネラウスの定理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\mathrm{\frac{OA'}{A'A_0} \frac{A_0 A}{AG} \frac{GP}{PO}} = 1
\end{equation}が成り立ちます。
ここまで判っている比を代入し、
\begin{equation}
\mathrm{\frac{OA'}{A'A_0}} \frac{3}{2} \frac{1 -t}{t} = 1
\end{equation}を得ます。
これより、
\begin{equation}
\mathrm{\frac{OA'}{A'A_0}} = \frac{2t}{3(1 -t)}
\end{equation}となります。
よって、
\begin{equation}
\mathrm{\frac{OA'}{OA_0}} = \frac{2t}{2t -3(1 -t)} = \frac{2t}{3 -t} \tag{1}
\end{equation}を得ます。

同様にして、
\begin{equation}
\mathrm{\frac{OB'}{OB_0} = \frac{OC'}{OC_0}} = \frac{2t}{3 -t} \tag{2}
\end{equation}を得ます。

式(1), (2)は、面A'B'C'は面ABCと平行であることを示しています。
面A'B'C'と辺OA, OB, OCの交点をそれぞれA₁, B₁, C₁とすると、
\begin{equation}
\mathrm{\triangle A_1 B_1 C_1 \sim \triangle ABC}
\end{equation}で、相似比は $\displaystyle \frac{2t}{3 -t}$ となります。

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断面A'B'C'を考えると、3点A', B', C'はそれぞれB₁C₁, C₁A₁, A₁B₁の中点となっています。これより、
\begin{equation}
\mathrm{\triangle A'B'C' \sim \triangle A_1 B_1 C_1}
\end{equation}で、相似比は $\displaystyle \frac{1}{2}$ です。