2019年前期兵庫県立大 - 数式で独楽する

△ABCと点Pがあり、 $2\, \overrightarrow{\mathrm{PA}} +3\, \overrightarrow{\mathrm{PB}} +4\, \overrightarrow{\mathrm{PC}} =\vec{0}$ を満たしている。以下の問に答えなさい。
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて表しなさい。
(2) △PAB, △PBC, △PCAの面積の比を求めなさい。
(3) 直線AP上にQをとり、△QABと、△QBCの面積比が
3:1となるようにする。このとき $\overrightarrow{\mathrm{QA}}, \ \overrightarrow{\mathrm{QB}}, \ \overrightarrow{\mathrm{QC}}$ が満たす関係式を求めなさい。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

与えられた式より、
\begin{eqnarray}
2\, \overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& 3\, \overrightarrow{\mathrm{PB}} +4\, \overrightarrow{\mathrm{PC}} \\
&=& 3\left( -\overrightarrow{\mathrm{AP}} +\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right) +4\left( -\overrightarrow{\mathrm{AP}} +\overrightarrow{\mathrm{AC}} \right) \\
9\, \overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& 3\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +4\, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \\
\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& \frac{1}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +\frac{4}{9} \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{1}
\end{eqnarray}を得ます。

小問(2)の解答例

同様に、
\begin{eqnarray}
3\, \overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& 2\, \overrightarrow{\mathrm{P A}} +4\, \overrightarrow{\mathrm{PC}} \\
&=& 2\left( -\overrightarrow{\mathrm{BP}} +\overrightarrow{\mathrm{BA}} \right) +4\left( -\overrightarrow{\mathrm{BP}} +\overrightarrow{\mathrm{BC}} \right) \\
9\, \overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& 2\, \overrightarrow{\mathrm{BA}} +4\, \overrightarrow{\mathrm{BC}} \\
\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& \frac{2}{9} \, \overrightarrow{\mathrm{BA}} +\frac{4}{9} \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} \tag{2}
\end{eqnarray}を得ます。

式(1)より、APとBCの交点RはBCを4:3に内分します。
したがって、
\begin{eqnarray}
\mathrm{\triangle RAB : \triangle R CA} &=& 4:3 \\
\mathrm{\triangle PAB : \triangle PCA} &=& 4:3 \tag{3}
\end{eqnarray}となります。
同様に、式(2)より、
\begin{equation}
\mathrm{\triangle PAB : \triangle P BC} = 4:2 \tag{4}
\end{equation}となります。

式(3), (4)より、
\begin{equation}
\mathrm{\triangle PAB : \triangle P BC : \triangle PCA} = 4:2:3
\end{equation}を得ます。

小問(3)の解答例

提示された条件により、実数 $k$ 用いて
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = k \left( \overrightarrow{\mathrm{BA}} +3\overrightarrow{\mathrm{BC}} \right) \tag{5}
\end{equation}と表すことができます。
これより、
\begin{eqnarray}
-\overrightarrow{\mathrm{AB}} +\overrightarrow{\mathrm{AQ}} &=& -k \overrightarrow{\mathrm{AB}} +3k \left( -\overrightarrow{\mathrm{AB}} +\overrightarrow{\mathrm{AC}} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} &=& (1 -4k) \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +3k \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{6}
\end{eqnarray}を得ます。

点Qは直線AP上にあるので、式(1), (6)より
\begin{equation}
\frac{1 -4k}{3} = \frac{3k}{4}
\end{equation}が成り立ちます。整理すると、
\begin{eqnarray}
25k &=& 4 \\
k &=& \frac{4}{25} \tag{7}
\end{eqnarray}となります。

式(7)を式(5)に返します。
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = \frac{4}{25} \, \left( \overrightarrow{\mathrm{BA}} +3\, \overrightarrow{\mathrm{BC}} \right)
\end{equation}
整理します。
\begin{equation}
-25\, \overrightarrow{\mathrm{QB}} = 4\left( -\overrightarrow{\mathrm{QB}} +\overrightarrow{\mathrm{QA}} \right) +12\left( -\overrightarrow{\mathrm{QB}} +\overrightarrow{\mathrm{QC}} \right)
\end{equation}
よって、
\begin{equation}
4\, \overrightarrow{\mathrm{QA}} +9\, \overrightarrow{\mathrm{QB}} +12\, \overrightarrow{\mathrm{QC}} = \vec{0}
\end{equation}を得ます。