「チェバの定理」
三角形ABCについて、
BC上に点P、AC上に点Q、AB上に点Rを定め、
AP, BQ, CRが1点Oで交わるとき、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}
チェバの定理は、三角形と3つの頂点を通る直線に関するわりと有名な定理です。
関連する辺の比の積が1となる、美しい形をしています。
証明は、いくつかあります。
本稿では、ベクトルを用いた証明をします。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とします。さらに、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& p \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} = p \left( \vec{c} - \vec{b} \right) \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} &=& (1 -q) \, \vec{c} \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{AR}} &=& r \, \vec{b} \tag{3}
\end{eqnarray}とします。
これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BP}} = (1 -p) \, \vec{b} + q \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{BQ}} &=& \overrightarrow{\mathrm{AQ}} - \overrightarrow{\mathrm{AB}} = -\vec{b} + (1 -q) \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{CR}} &=& \overrightarrow{\mathrm{AR}} - \overrightarrow{\mathrm{AC}} = r \, \vec{b} - \vec{c}
\end{eqnarray}を得ます。
AP, BQ, CRは1点Oで交わるので、を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AO}} &=& k \, \overrightarrow{\mathrm{AP}} \\
\overrightarrow{\mathrm{BO}} &=& l \, \overrightarrow{\mathrm{BQ}} \\
\overrightarrow{\mathrm{CO}} &=& m \, \overrightarrow{\mathrm{CR}} \\
\end{eqnarray}と表します。これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AO}} &=& k \, \overrightarrow{\mathrm{AP}}
&=& k(1 -p) \, \vec{b} + kp \, \vec{c} \tag{4} \\
\overrightarrow{\mathrm{AO}}
&=& \overrightarrow{\mathrm{AB}} + l \, \overrightarrow{\mathrm{BQ}}
&=& (1 -l) \, \vec{b} + l(1 -q) \, \vec{c} \tag{5} \\
\overrightarrow{\mathrm{AO}}
&=& \overrightarrow{\mathrm{AC}} + m \, \overrightarrow{\mathrm{CR}}
&=& mr \, \vec{b} + (1 -m) \, \vec{c} \tag{6} \\
\end{eqnarray}を得ます。
ベクトルは一次独立なので、式(4)~(6)より、
\begin{eqnarray}
k(1 -p) &=& 1 -l &=& mr \tag{7} \\
kp &=& l(1 -q) &=& 1 -m \tag{8}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(7), (8)より、
\begin{eqnarray}
\frac{r}{1 -p} &=& \frac{k}{m} \tag{9} \\
\frac{p}{1 -q} &=& \frac{l}{k} \tag{10} \\
\frac{q}{1 -r} &=& \frac{m}{l} \tag{11}
\end{eqnarray}を得ます。*1
式(9)~(11)より、
\begin{equation}
\frac{r}{1 -p} \frac{p}{1 -q} \frac{q}{1 -r} = \frac{k}{m} \frac{l}{k} \frac{m}{l} =1
\end{equation}となります。
書き換えて、
\begin{equation}
\frac{p}{1 -p} \frac{q}{1 -q} \frac{r}{1 -r} =1 \tag{12}
\end{equation}を得ます。
式(12)と(1)~(3)により、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}となることが示されます。
*1:式(9)は式(7)の両端、式(10)は式(8)の左と中より導きます。式(7), (8)の中と右を辺々相加えると、 \begin{eqnarray} 1 -l +l(1 -q) &=& mr +1 -m \\ lq &=& m(1 -r) \\ \frac{q}{1 -r} &=& \frac{m}{l} \tag{11} \end{eqnarray}を得ます。
