三角形の3中線は、1点Gで交わる。
(重心の存在)
三角形の中線とは、頂点とその対辺の中点を結んだ直線をいいます。
3本の中線が1点で交わることは、チェバの定理の逆で証明できます。
では、証明にいきます。
3辺BC, CA, ABの中点をそれぞれP, Q, Rとします。
このとき、
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &=& 1\cdot 1 \cdot 1 \\
&=& 1
\end{eqnarray}
となります。
チェバの定理の逆により、
3中線AP, BQ, CRは1点Gで交わります。
