ディラックのデルタ関数は
\begin{equation}
\delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
0 & (x \ne 0) \\
\infty & (x = 0)
\end{array} \right.
\end{equation}
というもので、
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^\infty \delta (x) \, dx = 1 \\
&& \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta (x -a) \, dx = f(a)
\end{eqnarray}なる性質を満たします。
次のようなステップ状のパルスを考えます。
\begin{equation}
\delta_\epsilon (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
\displaystyle \frac{1}{\epsilon} & \displaystyle \left( |x| \leqq \frac{\epsilon}{2} \right) \\
0 & \displaystyle \left( |x| > \frac{\epsilon}{2} \right)
\end{array} \right.
\end{equation}
この関数は、積分可能な関数に対し、
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta_\epsilon (x -a) \, dx &=& \int_{a -\epsilon/2}^{a +\epsilon/2} \frac{f(x)}{\epsilon} \, dx \\
&=& \left[ \frac{F(x)}{\epsilon} \right]_{a -\epsilon/2}^{a +\epsilon/2} \\
&=& \frac{F(a +\epsilon/2) -F(a -\epsilon/2)}{\epsilon}
\end{eqnarray}を満たします。ここで、は
の原始関数です。
これより、
\begin{eqnarray}
\lim_{\epsilon \to 0} f(x) \, \delta_\epsilon (x -a) \, dx &=& \lim_{\epsilon \to 0} \frac{F(a +\epsilon/2) -F(a -\epsilon/2)}{\epsilon} \\
&=& f(a)
\end{eqnarray}を得ます。
つまり、この結果によっても
\begin{equation}
\lim_{\epsilon \to 0} \delta_\epsilon (x) = \delta (x)
\end{equation}と見なすことができます。
