関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
積分のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = \int_a^x f(t) \, dt \quad (a: \mbox{定数})
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \frac{1}{iq} \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
定義に従って式を変形させていくと、示すことができます。
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& -\frac{1}{iq} \left[ e^{-iqx} \int_a^x f(t) \, dt \right]_{-\infty}^\infty +\frac{1}{iq} \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) \\
&=& 0 +\frac{1}{iq} \, \hat{f}\! (q) \\
&=& \frac{1}{iq} \, \hat{f} \! (q)
\end{eqnarray}
途中、部分積分を用いています。
定積分の部分積分 - 数式で独楽する
なお、前提として
\begin{equation}
\lim_{x \to \pm \infty} e^{-iqx} \int_a^x f(t) \, dt = 0
\end{equation}としています。
フーリエ変換の演算子をと書くと、
\begin{equation}
\mathcal{F} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = \frac{1}{iq} \, \mathcal{F}(f)
\end{equation}となります。
フーリエ変換を行うと、積分は変数の割り算になります。
複雑な積分演算が、代数演算になるのです。
なお、次のようなやり方もあります。
微分のフーリエ変換
\begin{equation}
iq \mathcal{F}(f) = \mathcal{F} \left( \frac{d}{dx}\,f \right)
\end{equation}において
\begin{equation}
f \quad \to \quad \int_a^x f(t) \, dt
\end{equation}と置き換えると、
\begin{equation}
\mathcal{F} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = \frac{1}{iq} \, \mathcal{F}(f)
\end{equation}を得ます。
