関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
変数倍のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = x \, f(x)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = i \, \frac{d}{d q} \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
本稿では、逆変換をして導いていきます。
変数倍のフーリエ変換 - 数式で独楽する
定義にしたがって変形していくと、
\begin{eqnarray}
h(x) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \, e^{iqx} \, \hat{h}(q) \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \, e^{iqx} \, i \, \frac{d}{d q} \, \hat{f} \! (q) \\
&=& \frac{1}{2\pi} \left \{ \biggl[ \ i \, e^{iqx} \, \hat{f} \! (q) \ \biggr]_{-\infty}^\infty +\int_{-\infty}^\infty d q \, e^{iqx} \, x \, \hat{f} \! (q) \right \} \\
&=& \frac{x}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty d q \, e^{iqx} \, \hat{f} \! (q) \\
&=& x \, f(x)
\end{eqnarray}を得ます。
なお、前提として
\begin{equation}
\lim_{q \to \pm \infty} e^{iqx} \, \hat{f} \! (q) = 0
\end{equation}としています。
やっていることは、微分のフーリエ変換と同じです。
微分のフーリエ変換 - 数式で独楽する
toy1972.hatenablog.com
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