\begin{equation}
(x^n)' = nx^{n-1}
\end{equation}
微分の演算にしたがって計算していきます。
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
\end{equation}
とすると、次のようになります。
\begin{equation}
(x^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \tag{1}
\end{equation}
ここで、二項定理を用いて展開します。
二項定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
(x + h)^n &=& {}_n C_0 x^n + {}_n C_1 hx^{n-1} + {}_n C_2 h^2 x^{n-2} + \cdots + {}_n C_n h^n \\
&=& x^n + nhx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} h^2 x^{n-2} + \cdots + h^n
\end{eqnarray}
両辺よりを引き、
で割ると、極限記号の中身が得られます。
\begin{equation}
\frac{(x + h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} hx^{n-2} + \cdots + h^{n-1}
\end{equation}
したがって式(1)は、
\begin{eqnarray}
(x^n)' &=& \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \left( nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} hx^{n-2} + \cdots + h^{n-1} \right) \\
&=& nx^{n-1}
\end{eqnarray}
となります。
つまり、
\begin{equation}
(x^n)' = nx^{n-1} \tag{1}
\end{equation}です。
ここでとすると、
、式(1)を満たします。
またとすると1'=0です。こちらも式(1)を満たします。
\begin{equation}
(x^n)' = nx^{n-1} \tag{1}
\end{equation}は、が負でない整数で成り立つことが分かります。
