ロピタルの定理 - 数式で独楽する

ロピタル(l'Hôpital)の定理*1
点 $x=a$ およびそれに十分近い $x$ について関数 $f(x), g(x)$ が微分可能で $g'(x)≠0$ とする。
\begin{equation}
f(a) = g(a) = 0
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\lim_{x \to a}\frac{f'(a)}{g'(a)}
\end{equation}が存在すれば、
\begin{equation}
\lim_{x \to a}\frac{f(a)}{g(a)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(a)}{g'(a)}
\end{equation}である。

ロピタルの定理は、不定形*2の極限を、微分を用いて求めるものです。

証明

与えられた条件に
\begin{equation}
f(a) = g(a) = 0
\end{equation}とありますので、コーシーの平均値の定理により、
\begin{eqnarray}
\frac{f(a + h)}{g(a + h)} &=& \frac{f(a + h) - f(a)}{g(a + h) - g(a)} \\
&=& \frac{f'(a + \theta h)}{g'(a + \theta h)}
\end{eqnarray}
なる $\theta \in (0, 1)$ が存在します。
コーシーの平均値の定理 - 数式で独楽する

したがって、
\begin{eqnarray}
\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} &=& \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h)}{g(a + h)} \\
&=& \lim_{\theta h \to 0}\frac{f'(a + \theta h)}{g'(a + \theta h)} \\
&=& \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\end{eqnarray}
となります。

ロピタルの定理の特殊な形

ロピタルの定理は、

$x \to \pm \infty$ でも成り立ちます。
$x \to a$ のとき、 $|f(x)| \to \infty, |g(x)| \to \infty$ でも成り立ちます。

1項はxの逆数を取れば元の形に帰着できます。
2項も、逆数を取れば元の形です。

繰り返し用いる場合

\begin{equation}
f'(a) = g'(a) = 0
\end{equation}となる場合も、
\begin{equation}
\lim_{x \to a}\frac{f''(a)}{g''(a)}
\end{equation}が存在すれば、
\begin{equation}
\lim_{x \to a}\frac{f(a)}{g(a)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(a)}{g'(a)} = \lim_{x \to a}\frac{f''(a)}{g''(a)}
\end{equation}が成り立ちます。

同様に、
\begin{eqnarray}
f(a) &=& f'(a) &=& f''(a) &=& \cdots &=& f^{(n)}(a) &=& 0 \\
g(a) &=& g'(a) &=& g''(a) &=& \cdots &=& g^{(n)}(a) &=& 0
\end{eqnarray}
となる場合も、
\begin{equation}
\lim_{x \to a}\frac{f^{(n+1)}(a)}{g^{(n+1)}(a)}
\end{equation}が存在すれば、
\begin{eqnarray}
\lim_{x \to a}\frac{f(a)}{g(a)} &=& \lim_{x \to a}\frac{f'(a)}{g'(a)} \\
&=& \lim_{x \to a}\frac{f''(a)}{g''(a)} \\
& \vdots & \\
&=& \lim_{x \to a}\frac{f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)} \\
&=& \lim_{x \to a}\frac{f^{(n+1)}(a)}{g^{(n+1)}(a)}
\end{eqnarray}
が成り立ちます。