逆数の微分
\begin{equation}
\left \{ \frac{1}{f(x)} \right \} ' = - \frac{f'(x)}{\{ f(x) \} ^2}
\end{equation}
逆数の微分は、積の微分
積の微分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\{ f(x)g(x) \}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \tag{1}
\end{equation}を用いて導くことができます。
式(1)において
\begin{equation}
g(x) = \frac{1}{f(x)}
\end{equation}とすると、左辺は定数1の微分で0です。したがって、
\begin{equation}
0 = f'(x) \cdot \frac{1}{f(x)} + f(x) \cdot \left \{ \frac{1}{f(x)} \right \} '
\end{equation}となります。
よって、
\begin{equation}
\left \{ \frac{1}{f(x)} \right \} ' = - \frac{f'(x)}{\{ f(x) \} ^2}
\end{equation}が得られます。
\begin{equation}
u = f(x)
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\left( \frac{1}{u} \right) ' = - \frac{u'}{u^2}
\end{equation}です。
別の書き方では、
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{u} \right) = - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dx}
\end{equation}です。
逆数の微分は、
分母が2乗、
分子はマイナス微分
です。
