逆正弦関数は、
\begin{equation}
\sin^{-1} x = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} \qquad (|x| \le 1) \tag{1}
\end{equation}で表されます。
逆三角関数の定積分表現 - 数式で独楽する
マクローリン(Maclaurin)展開
\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\
&=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}
マクローリン展開 - 数式で独楽する
において、
\begin{equation}
f(x) = \sin^{-1} x
\end{equation}とすると、のマクローリン展開が得られます。
ですが、
逆正接関数
逆正接関数の級数展開 - 数式で独楽する
のときと同様、素直に微分していくとややこしくなりそうです。
今回も、式(1)右辺の積分記号の中を級数展開してみます。
積分される関数をと見て、変数
でマクローリン展開します。
(1+x)のべき乗のマクローリン展開 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \begin{array}{c} - \displaystyle \frac{1}{2} \\ n \end{array} \right) t^2 \tag{2}
\end{equation}
式(2)中のを変形していきます。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} &=& 1 - \left( -\frac{1}{2} \right) t^2 + \cfrac{\left( -\cfrac{1}{2} \right) \left( -\cfrac{3}{2} \right)}{2!} t^4 - \cfrac{\left( -\cfrac{1}{2} \right) \left( -\cfrac{3}{2} \right) \left( - \cfrac{5}{2} \right)}{3!} t^6 + \cdots \\
&=& 1 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} t^4 + \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} t^6 + \cdots
\end{eqnarray}
また、
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} - \displaystyle \frac{1}{2} \\ n \end{array} \right)
&=& \cfrac{\left( -\cfrac{1}{2} \right) \left( -\cfrac{3}{2} \right) \cdots \left( -\cfrac{2n -1}{2} \right)}{n!} \\
&=& (-1)^n \frac{1 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (2n -1)}{2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot 2n} \\
&=& (-1)^n \frac{(2n -1)!!}{(2n)!!} \tag{2}
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}
&=& 1 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} t^4 + \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} t^6 + \cdots \tag{3-1}\\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n -1)!!}{(2n)!!} t^{2n} \tag{3-2}
\end{eqnarray}
となります。
式中の「!!」は二重階乗と呼ばれるもので、2ずつ減らした数を全て掛けた積を表します。
例えば、
\begin{eqnarray}
5!! &=& 5 \cdot 3 \cdot 1 \\
8!! &=& 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 \\
(2m -1)!! &=& (2m -1) \cdot (2m -3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \\
(2m)!! &=& 2m \cdot (2m -2) \cdot \cdots \cdot 4 \cdot 2
\end{eqnarray}です。
なお、
\begin{equation}
0!!=1
\end{equation}です。
式(2)の分母分子に2·4·…·2nを掛けると、
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} - \displaystyle \frac{1}{2} \\ n \end{array} \right)
&=& (-1)^n \frac{1 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (2n -1)}{2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot 2n} \\
&=& (-1)^n \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot (2n -1)\cdot 2n}{(2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot 2n)(2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot 2n)} \\
&=& (-1)^n \frac{(2n)!}{4^n n! n!} \\
&=& \frac{(-1)^n}{4^n} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)
\end{eqnarray}
となります。
したがって、式(2)は、
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right) t^{2n} \tag{3-3}
\end{equation}と書くことができます。
ここまでをまとめると、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} &=& 1 + \frac{1}{2} t^2 + \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} t^4 + \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} t^6 + \cdots \tag{3-1}\\
\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n -1)!!}{(2n)!!} t^{2n} \tag{3-2} \\
\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right) t^{2n} \tag{3-3}
\end{eqnarray}
となります。
これらを式(1)に代入し、項別に積分すると、の級数展開
\begin{eqnarray}
\sin^{-1} x &=& x + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) x^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \right) x^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \right) x^7 + \cdots \\
\sin^{-1} x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n -1)!!}{(2n +1)(2n)!!} x^{2n+1} \\
\sin^{-1} x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n (2n +1)} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right) x^{2n+1}
\end{eqnarray}
を得ることができます。
表現は異なりますが、中身は同じです。
