商の微分
\begin{equation}
\left \{ \frac{f(x)}{g(x)} \right \} ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{ g(x) \} ^2}
\end{equation}
商の微分は、
積の微分
積の微分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\{ f(x)g(x) \}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \tag{1}
\end{equation}と逆数の微分
逆数の微分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\left \{ \frac{1}{g(x)} \right \} ' = - \frac{g'(x)}{\{ g(x) \} ^2} \tag{2}
\end{equation}を用いて導くことができます。
式(1)において、を
に置き換えると、式(2)により、
\begin{equation}
\left \{ \frac{f(x)}{g(x)} \right \} ' = \frac{f'(x)}{g(x)} + f(x) \left[ - \frac{g'(x)}{\{ g(x) \} ^2 } \right]
\end{equation}となります。
整理すると、
\begin{equation}
\left \{ \frac{f(x)}{g(x)} \right \} ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{ g(x) \} ^2}
\end{equation}が得られます。
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
u = f(x) \\
v = g(x)
\end{array}
\right.
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\left( \frac{u}{v} \right) ' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\end{equation}です。
別の書き方では、
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{1}{v^2} \left( \frac{du}{dx} \cdot v - u \cdot \frac{dv}{dx} \right)
\end{equation}です。
商の微分は、
です。
