積の微分
\begin{equation}
\{ f(x)g(x) \}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\end{equation}
微分の演算にしたがって計算していきます。
\begin{equation}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{equation}
同様に、
\begin{eqnarray}
\{ f(x)g(x) \}' &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h) - f(x)g(x)}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \left \{ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \cdot g(x + h) + f(x) \cdot \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right \} \\
&=& f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\end{eqnarray}
となります。
式の2行目でを引いて足しているところがポイントです。
これで、微分演算の形をの部分と
の部分に分離することができます。
3行目にが残っていますが、心配は無用です。
ここでとすれば、
となります。
つまり、
\begin{equation}
\{ f(x)g(x) \}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\end{equation}です。
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
u = f(x) \\
v = g(x)
\end{array}
\right.
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
(uv)' = u'v + uv'
\end{equation}です。
別の書き方では、
\begin{equation}
\frac{d}{dx} (uv) = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}
\end{equation}です。
積の微分は、
です。
