合成関数の微分
\begin{equation}
\{ f(g(x)) \} ' = f'(g(x))g'(x)
\end{equation}
関数の中に関数が入っている、
関数が入れ子になっている、
このような関数を「合成関数」といいます。
\begin{equation}
f(g(x)) = f \circ g(x)
\end{equation}と表記することもあります。
微分の演算にしたがって求めていきます。
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
f'(x) &=& \lim_{\xi \to x} \frac{f(\xi)-f(x)}{\xi -x}
\end{eqnarray}
これを踏まえて、
\begin{eqnarray}
\{ f(g(x)) \} ' &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\
&=& f'(g(x))g'(x)
\end{eqnarray}
が得られます。
式の1行目から2行目への変形では、分母と分子にを掛けて、微分演算の形に持ち込んでいます。
また、のとき、
となるので、2行目から3行目への変形は成り立ちます。
よって、
\begin{equation}
\{ f(g(x)) \} ' = f'(g(x))g'(x)
\end{equation}です。
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
y = f(u) \\
u = g(x)
\end{array}
\right.
\end{equation}
とすると、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}
\end{equation}と書けます。
間のが約分のように書かれているのが特徴的です。
合成関数の微分は、
です。
