関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
微分のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = \frac{d}{dx} \, f(x)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = iq \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
定義に従って式を変形させていくと、示すことができます。
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \,e^{-iqx} \frac{d}{dx} \, f(x) \\
&=& \biggl[ e^{-iqx} \, f(x) \biggr]_{-\infty}^\infty -\int_{-\infty}^\infty dx \, (-iq)\, e^{-iqx} \, f(x) \\
&=& 0 +iq \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) \\
&=& iq \, \hat{f} \! (q)
\end{eqnarray}
途中、部分積分を用いています。
定積分の部分積分 - 数式で独楽する
なお、前提として
\begin{equation}
\lim_{x \to \pm \infty} e^{-iqx} \ f(x) = 0
\end{equation}としています。
フーリエ変換の演算子をと書くと、
\begin{equation}
\mathcal{F} \left( \frac{d}{dx} \, f \right) = iq \, \mathcal{F}(f)
\end{equation}となります。
フーリエ変換を行うと、微分は変数の掛け算になります。
複雑な微分演算が、代数演算になるのです。
