逆関数の微分 - 数式で独楽する

逆関数の微分
\begin{equation}
x=f(y)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \displaystyle \frac{dx}{dy} \ } = \frac{1}{f'(y)} \quad (f(y) \neq 0)
\end{equation}

\begin{equation}
f(g(x)) = x, \quad g(f(x)) =x
\end{equation}別の表記では
\begin{equation}
f \circ g(x) = x, \quad g \circ f(x) = x
\end{equation}を満たす関数 $f, g$ は互いに逆関数であり、
\begin{equation}
g^{-1}(x) = f(x), \quad f^{-1}(x) = g(x)
\end{equation}と表記します。

微分演算の基本に立ち戻ってみていきましょう。

変数 $x, y$ の微小変化をそれぞれ $\Delta x, \Delta y$ とします。
また
\begin{equation}
\Delta x \to 0
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\Delta y \to 0
\end{equation}とします。
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
\frac{dx}{dy} &=& \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta y}
\end{eqnarray}
です。

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$ は次のように書くことができます。
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{\ \displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta y} \ }
\end{equation}
分母と分子をそれぞれ $\Delta y$ で割っています。
ここで $\Delta y \to 0$ とすると $\Delta x \to 0$ ともなり、上の式は、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \displaystyle \frac{dx}{dy} \ }
\end{equation}となります。
形式上、分母と分子をそれぞれ $dy$ で割った形になっています。
また、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)}
\end{equation}です。
なお、 $f'(x) \neq 0$ です。

合成関数の微分
\begin{equation}
\{ f(g(x)) \} ' = f'(g(x))g'(x)
\end{equation}を用いて導くこともできます。
合成関数の微分 - 数式で独楽する

\begin{equation}
g(x) = f^{-1}(x), \quad x=f(y)
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
f(f^{-1}(x)) = x, \quad x'=1
\end{equation}なので、
\begin{equation}
1=f'(y)\{ f^{-1}(x) \} '
\end{equation}となります。
よって、
\begin{equation}
\{ f^{-1}(x) \} ' = \frac{1}{f(y)}
\end{equation}です。

逆関数の微分は、

元の関数の微分の逆数

です。