媒介変数表記の微分
\begin{equation}
x=f(t), \quad y=g(t)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{\ \displaystyle \frac{dy}{dt} \ }{\displaystyle \frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(x)} \quad (f(t) \neq 0)
\end{equation}
微分する側もされる側も、共に媒介変数で表される場合、
元の微分は媒介変数による微分の商で表されるというものです。
微分演算の基本に立ち戻ってみていきましょう。
変数の微小変化をそれぞれ
とします。
また
\begin{equation}
\Delta t \to 0
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\Delta x \to 0, \quad \Delta y \to 0
\end{equation}とします。
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
\frac{dx}{dt} &=& \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \\
\frac{dy}{dt} &=& \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}
\end{eqnarray}
です。
は次のように書くことができます。
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\ \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta t} \ }{\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}}
\end{equation}
分母と分子をそれぞれで割っています。
ここでとすると
ともなり、上の式は、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{\ \displaystyle \frac{dy}{dt} \ }{\displaystyle \frac{dx}{dt}}
\end{equation}となります。
形式上、分母と分子をそれぞれで割った形になっています。
また、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)}
\end{equation}です。
なお、です。
