正接の微分を検算する - 数式で独楽する

\begin{equation}
y' = 1+y^2
\end{equation}を満たす $x$ の関数 $y$ を求めよ。

先の記事
正接の微分 - 数式で独楽する
で、
\begin{equation}
(\tan x)' = 1+\tan^2 x
\end{equation}であることを述べました。
本記事では、
\begin{equation}
y' = 1+y^2 \tag{1}
\end{equation}を満たす関数 $y$ は
\begin{equation}
y = \tan x
\end{equation}であるかどうかを見ていきます。
つまり、式(1)で表される微分方程式を解いていきます。

まず、式(1)を次のように書きます。
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = 1+y^2
\end{equation}次に、
\begin{equation}
\frac{dy}{1+y^2} = dx
\end{equation}と書きます。
これは、

左辺は変数 $y$ で表す
右辺は変数 $x$ で表す

つまり2つの変数を式の両辺で分離する

変数分離型

と呼ばれる方法です。

両辺を積分します。
\begin{equation}
\int \frac{dy}{1+y^2} = \int dx \tag{2}
\end{equation}

ここで、
\begin{eqnarray}
右辺 &=& x + C \\
左辺 &=& \tan^{-1}y + C'
\end{eqnarray}
です。
ここで $C, C'$ は積分定数です。
定数の微分は0なので、積分を行うと任意定数が必ず出てきます。
左辺の微分については、
角の大きさを表現するその3 - 数式で独楽する
の後半に解説しています。