変数分離形
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = f(x) \, g(y)
\end{equation}
微分方程式は、解くことができないことがざらにありますが、
解くことができる形が幾つかあります。
本稿では「変数分離形」を紹介します。
変数xの関数
についての1階微分方程式で、
- 方程式の左辺は
のみの式
- 方程式の右辺は
のみの式
に分離できると、
することで解くことができます。
\begin{equation}
G(y) = F(x) + C
\end{equation}の形になります。
あわよくば、容易に
\begin{equation}
y = G^{-1}\bigl( F(x) + C \bigr)
\end{equation}が求められるかもしれません。
形は幾つかあるのでそれぞれ見ていきましょう。
まず、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \tag{1}
\end{equation}の形です。
\begin{equation}
\int g(y) \, dy = \int f(x)\, dx
\end{equation}となります。
形式的に分母を払うように
\begin{equation}
g(y)\, dy = f(x) \, dx
\end{equation}とし、おもむろに積分記号を付けると、
\begin{equation}
\int g(y)\, dy = \int f(x) \, dx
\end{equation}が得られます。
また、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = f(x)\, g(y)
\end{equation}であれば、
\begin{equation}
\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \, dx
\end{equation}となります。
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{g(y)}{f(x)}
\end{equation}であれば、
\begin{equation}
\int \frac{dy}{g(y)} = \int \frac{dx}{f(x)}
\end{equation}となります。
なお、先に紹介した直接微分形
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = f(x)
\end{equation}は、式(1)でとした変数分離形と見ることができます。
微分方程式を解く~直接積分形 - 数式で独楽する
