対数関数を
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義する考え方があります。
式(1)で定義した関数が、対数関数の性質を持ち、その他の関係を満たしているかどうかを確かめていきます。
関数expを
\begin{equation}
\exp x = \log^{-1} x
\end{equation}と定めます。
\begin{equation}
y = \log x
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{x} \\
\log^{-1} y &=& x
\end{eqnarray}であるので、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dy} \log^{-1} y &=& \frac{dx}{dy} \\
&=& \cfrac{1}{\ \cfrac{dy}{dx}\ } \\
&=& \cfrac{1}{\ \cfrac{1}{x}\ } \\
&=& x \\
&=& \log^{-1} y
\end{eqnarray}
逆関数の微分 - 数式で独楽する
ここでを
に置き換えて、
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \exp x = \exp x
\end{equation}を得ます。
つまり、
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義したlogの逆関数expは、微分しても形が変わらないことが分かります。
こちらは、と同じ性質です。
指数関数の微分 - 数式で独楽する
