正接の微分

正接の微分
\begin{equation}
(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}
\end{equation}または
\begin{equation}
(\tan x)' = 1+\tan^2 x
\end{equation}

正接、タンジェントの微分の表現は2つあります。
異なる表現ですが、どちらも同じものです。
後で説明します。

正接の微分は、正接が
\begin{equation}
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\end{equation}であることを踏まえて、商の微分
\begin{equation}
\left \{ \frac{f(x)}{g(x)} \right \} ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{ g(x) \} ^2}
\end{equation}を用いて求めます。
商の微分 - 数式で独楽する

では見ていきましょう。
\begin{eqnarray}
(\tan x)' &=& \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right) ' \\
&=& \frac{(\sin x)' \cos x -\sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\
&=& \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \tag{1}
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{equation}
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\end{equation}を用いると、式(1)は
\begin{equation}
(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}
\end{equation}となります。

また、式(1)で、再度
\begin{equation}
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\end{equation}を用いると、
\begin{equation}
(\tan x)' = 1+\tan^2 x
\end{equation}となります。

タンジェントの微分が以下の2つの形を持つのも、上の理由によるものです。
\begin{eqnarray}
(\tan x)' &=& \frac{1}{\cos^2 x} \\
(\tan x)' &=& 1+\tan^2 x
\end{eqnarray}

関数は、
\begin{equation}
y' = 1+y^2
\end{equation}を満たすことが分かります。