\begin{equation}
\int \tan x \ dx = -\log |\cos x| + C
\end{equation}
この式を導くには少し工夫が必要です。
まず、
\begin{equation}
\int \tan x \ dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}dx \tag{1}
\end{equation}です。
ここで、
\begin{equation}
t = \cos x \tag{2}
\end{equation}と置くと、
\begin{equation}
dt = - \sin x \ dx
\end{equation}なので、式(1)は
\begin{eqnarray}
\int \tan x \ dx &=& - \int \frac{dt}{t} \\
&=& - \log |t| +C
\end{eqnarray}
となります。
置換積分 - 数式で独楽する
べき乗の不定積分 - 数式で独楽する
ここで、式(2)を用いてtを元に戻すと、
\begin{equation}
\int \tan x \ dx = -\log |\cos x| + C
\end{equation}が得られます。
また次のように書くことができます。
\begin{eqnarray}
\int \tan x \ dx &=& \int \frac{\sin x}{\cos x}dx \\
&=& \int \frac{-(\cos x)' dx}{\cos x} \\
&=& -\log |\cos x| + C
\end{eqnarray}
