本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の偏微分について述べます。
極座標 - 数式で独楽する
直交座標系の偏微分を球座標系の偏微分で表すことを目指しますが、
\begin{eqnarray}
\rho^2 &=& x^2 + y^2 \\
r^2 &=& z^2 + \rho^2
\end{eqnarray}として2次元極座標系の偏微分を2回用いると導くことができます。
2次元極座標系の偏微分 - 数式で独楽する
- 点(x,y,z)を含みz軸に直交する平面
- 点(x,y,z)とz軸を含む平面
に分けて考えていきます。
点(x,y,z)を含み、z軸と直交する平面では、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial u}{\partial x} &=& \cos \phi \, \frac{\partial u}{\partial \rho} - \frac{\sin \phi}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \phi} \\
\frac{\partial u}{\partial y} &=& \sin \phi \, \frac{\partial u}{\partial \rho} + \frac{\cos \phi}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \phi} \tag{2.1}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
点(x,y,z)とz軸を含む平面では、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial u}{\partial z} &=& \cos \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\
\frac{\partial u}{\partial \rho} &=& \sin \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \tag{2.2}
\end{eqnarray}となります。
式(2.1), (2.2)よりρを消去すると、直交座標系の偏微分を球座標系の偏微分で表すことができます。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial u}{\partial x} &=& \sin \theta \cos \phi \, \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos \theta \cos \phi}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} - \frac{\sin \phi}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \\
\frac{\partial u}{\partial y} &=& \sin \theta \sin \phi \, \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\cos \theta \sin \phi}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} + \frac{\cos \phi}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \\
\frac{\partial u}{\partial z} &=& \cos \theta \, \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \tag{2}
\end{eqnarray}
式(2)を行列を用いて表すと、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{ccc}
\sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & - \sin \phi \\
\sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\
\cos \theta & - \sin \theta & 0
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \end{array} \right)
\end{equation}となります。
\begin{equation}
R = \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \end{array} \right) \tag{6}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
R^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}
\sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & - \sin \phi \\
\sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\
\cos \theta & - \sin \theta & 0
\end{array} \right)
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} \end{array} \right)
= R^{-1} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \end{array} \right)
\end{equation}となります。
