余接の微分

余接の微分
\begin{equation}
(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}
\end{equation}または
\begin{equation}
(\cot x)' = -1-\cot^2 x
\end{equation}

余接、コタンジェントの微分の表現は2つあります。
異なる表現ですが、どちらも同じものです。
後で説明します。
あまり扱うことはありませんが、正接と似た形なので触れておきます。

余接の微分は、余接が
\begin{equation}
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
\end{equation}であることを踏まえて、商の微分
\begin{equation}
\left \{ \frac{f(x)}{g(x)} \right \} ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{ g(x) \} ^2}
\end{equation}を用いて求めます。
商の微分 - 数式で独楽する

では見ていきましょう。
\begin{eqnarray}
(\cot x)' &=& \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right) ' \\
&=& \frac{(\cos x)' \sin x -\cos x (\sin x)'}{\sin^2 x} \\
&=& -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \tag{1}
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{equation}
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\end{equation}を用いると、式(1)は
\begin{equation}
(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}
\end{equation}となります。

また、式(1)で、再度
\begin{equation}
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
\end{equation}を用いると、
\begin{equation}
(\cot x)' = -1-\cot^2 x
\end{equation}となります。

タンジェントの微分が以下の2つの形を持つのも、上の理由によるものです。
\begin{eqnarray}
(\cot x)' &=& -\frac{1}{\sin^2 x} \\
(\cot x)' &=& -1-\cot^2 x
\end{eqnarray}

関数は、
\begin{equation}
y' = -(1+y^2)
\end{equation}を満たすことが分かります。