対数の底の変換

対数の底の変換
\begin{equation}
\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}
\end{equation}

対数の底を変換する場合、元の底の対数が分母に現れるというものです。
知っていると便利な関係です。

まず、底がの対数は、
\begin{equation}
\log_b x = X \ \Longleftrightarrow \ x = b^X \tag{1}
\end{equation}という関係を満たしています。

次に、底がの対数を考えます。
式(1)を考慮すると、
\begin{eqnarray}
\log_a x &=& \log_a b^X \\
&=& X \log_a b \\
&=& \log_b x \log_a b
\end{eqnarray}
つまり、
\begin{equation}
\log_a x = \log_b x \log_a b
\end{equation}となります。
両辺をで割ると、
\begin{equation}
\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}
\end{equation}を得ることができます。