対数微分法

対数微分法とは、

対数をとってから微分し、
元の関数を掛けることにより、
元の関数の微分形を求める

手法です。

対数をとると簡単な形になる場合に、その威力が炸裂します。

\begin{equation}
y=f(x) \tag{1}
\end{equation}の両辺の対数をとると、次のようになります。
\begin{equation}
\log y = \log f(x)
\end{equation}
さらに両辺を微分します。
合成関数の微分
合成関数の微分 - 数式で独楽する
および対数の微分
を用いると、式(2)の微分は次のようになります。
\begin{equation}
\frac{y'}{y} = \frac{f'(x)}{f(x)} \tag{3}
\end{equation}
再び式(1)を用いると、
すなわち、「元の関数を掛ける」と、
\begin{equation}
y' = f'(x)
\end{equation}を得ることができます。