対数関数を
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義する考え方があります。
式(1)で定義した関数が、対数関数の性質を持ち、その他の関係を満たしているかどうかを確かめていきます。
本稿はその2つ目です。
\begin{eqnarray}
\log xy &=& \log x + \log y \tag{2} \\
\log \frac{x}{y} &=& \log x - \log y \tag{3}
\end{eqnarray}
を満たすことを確かめます。
式(1)より
\begin{equation}
\log \frac{x}{y} = \int_1^{x/y} \frac{dt}{t} \tag{4}
\end{equation}です。ここで、
\begin{equation}
u = yt
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
du = y \, dt
\end{equation}なので
\begin{equation}
\frac{du}{u} = \frac{y \, dt}{yt} = \frac{dt}{t}
\end{equation}です。
また、積分範囲の
\begin{equation}
1 \leqq t \leqq \frac{x}{y}
\end{equation}は各辺にyを掛けて
\begin{equation}
y \leqq u \leqq x
\end{equation}となります。
よって、式(4)は、
\begin{equation}
\log \frac{x}{y} = \int_y^x \frac{du}{u}
\end{equation}となります。
積分範囲をu=1で分割します。
\begin{equation}
\log \frac{x}{y} = \int_1^x \frac{du}{u} + \int_y^1 \frac{du}{u}
\end{equation}便宜上、右辺の項を入れ替えています。
第2項の積分区間の下端と上端を入れ替えると、符号が反転します。
\begin{equation}
\log \frac{x}{y} = \int_1^x \frac{du}{u} - \int_1^y \frac{du}{u}
\end{equation}ここで式(1)を用いると、
\begin{equation}
\log \frac{x}{y} = \log x - \log y \tag{3}
\end{equation}を得ます。
式(3)でx=1と置きます。
\begin{equation}
\log 1 = \int_1^1 \frac{dt}{t} = 0
\end{equation}です。積分区間の下端と上端が等しいので、定積分の値は0になります。
式(3)は
\begin{equation}
\log \frac{1}{y} = - \log y \tag{4}
\end{equation}となります。文字を書き換えても意味するところは同じです。
\begin{equation}
\log \frac{1}{x} = - \log x
\end{equation}逆数を入れると符号が反転します。
式(3)においてyを1/yに置き換えると、式(4)により
\begin{equation}
\log xy = \log x + \log y \tag{2}
\end{equation}を得ます。
以上より、
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義するlogは、私たちの知っている対数関数と同じ性質を持っていることが分かります。
