開平計算の方法 - 数式で独楽する
で述べたように、開平計算ができるのはなぜなのか？
本稿では解説をしていきます。
下に示すようにを定めます。
そして、それぞれの数の意味するところを両脇に添えます。
\begin{equation}
\begin{array}{rrr}
\\
\\
a_1 &&\\
a_1 && \\ \hline
2a_1 &+\ \ a_2 & \\
& a_2 & \\ \hline
2a_1 &+ 2a_2 &+\ \ a_3 \\
&& a_3 \\ \hline
2a_1 &+ 2a_2 &+ 2a_3
\end{array}
\quad
\begin{array}{rrr}
\\
\\
2 && \\
2 && \\ \hline
4 & 5 & \\
& 5 & \\ \hline
5 & 0 & 6 \\
&& 6 \\ \hline
5 & 1 & 2
\end{array}
\begin{array}{r}
\\ \\ √ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\begin{array}{rrr}
a_1 & a_2 & a_3 \\
2 & 5 & 6 \\ \hline
6 & 55 & 36 \\
4 && \\ \hline
2 & 55 & \\
2 & 25 & \\ \hline
& 30 &36 \\
& 30 & 36 \\ \hline
&& 0
\end{array}
\quad
\begin{array}{rrl}
&&\\
&& a_1 + a_2 + a_3 \\ \hline
x && \\
&& {a_1}^2 \\ \hline
x & -& {a_1}^2 \\
&& 2a_1 a_2 + {a_2}^2 \\ \hline
x & -& (a_1 + a_2)^2\\
&& 2a_1 a_3 + 2a_2 a_3 + {a_3}^2 \\ \hline
x & -& (a_1 + a_2 + a_3)^2
\end{array}
\end{equation}
この例では、
\begin{eqnarray}
x &=& 65536 & \\
a_1 &=& 200 & \\
a_2 &=& 50 &\\
a_3 &=& 6 &
\end{eqnarray}
です。
手順1
まず、右側ではを計算して、
\begin{equation}
x-{a_1}^2
\end{equation}としていることが分かります。
一方、左側では、
\begin{equation}
a_1 +a_1 = 2a_1
\end{equation}を書いています。
これが伏線となって、次の手順で炸裂することになります。
手順2
ここでは、左側に出て来たを用いて、右側で
\begin{equation}
(2a_1 +a_2)a_2 = 2a_1 a_2 + {a_2}^2
\end{equation}をさらに引いています。
引き算の累計は、
\begin{equation}
{a_1}^2 + (2a_1 a_2 + {a_2}^2) = (a_1 + a_2)^2
\end{equation}となっています。
手順3
同様に、引き算の累計は、
\begin{equation}
(a_1 + a_2 + a_3)^2
\end{equation}となっています。
最終的に余りが0になるということは、
\begin{equation}
x - (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 =0
\end{equation}すなわち、
\begin{equation}
x = (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2
\end{equation}となっているということです。
よって、
で述べた手順で開平計算、つまり平方根を求めることができるのです。
