定積分
を求めよ。
解答例
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^2 \frac{2x +1}{\sqrt{x^2 +4}} \, dx \\
I_1 &=& \int_0^2 \frac{2x}{\sqrt{x^2 +4}} \, dx \\
I_2 &=& \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x^2 +4}}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
I = I_1 + I_2
\end{equation}です。
まず
\begin{eqnarray}
I_1 &=& \biggl[ 2\sqrt{x^2 +4} \biggr]_0^2 \\
&=& 2 \left( 2\sqrt{2} -2 \right) \\
&=& 4\sqrt{2} -4
\end{eqnarray}です。
(ここまでは同じです。以降が別解です。)
京大 2007年 理系 第1問[1] - 数式で独楽する
次に
\begin{equation}
x = 2\sinh t
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\sqrt{x^2 +4} &=& 2\cosh t \\
dx &=& 2\cosh t
\end{eqnarray}です。
積分区間は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & 0 & \to & 2 \\ \hline
t & 0 & \to & \sinh^{-1} 1 \\ \hline
\end{array}
したがって、
\begin{eqnarray}
I_2 &=& \int_0^{\sinh^{-1} 1} dt \\
&=& \biggl[ \ t \ \biggr]_0^{\sinh^{-1} 1} \\
&=& \sinh^{-1} 1
\end{eqnarray}を得ます。
双曲線関数 - 数式で独楽する
双曲線関数の微分 - 数式で独楽する
ここで、
\begin{equation}
\sinh u = \frac{e^u -e^{-u}}{2} = 1
\end{equation}なるを求めます。
\begin{eqnarray}
e^u -e^{-u} &=& 2 \\
e^{2u} -2e^u -1 &=& 0
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
e^u = 1 +\sqrt{2}
\end{equation}です。
よって
\begin{equation}
I_2 = u = \log (1 +\sqrt{2})
\end{equation}を得ます。
以上より、求める定積分は
\begin{eqnarray}
I &=& I_1 +I_2 \\
&=& 4\sqrt{2} -4 +\log (\sqrt{2} +1)
\end{eqnarray}となります。
解説
置換積分の問題です。
分母にがある場合は
\begin{equation}
x = a \sin t
\end{equation}と置くと上手くいくことがあります。
このことと関連して、とあれば
\begin{equation}
x = a\sinh t
\end{equation}と置くと上手くいくことがあります。
高校生向けの試験で双曲線関数を使っていいのかどうかは知りません。
