\begin{eqnarray}
\int x^n dx &=& \frac{1}{n +1} x^{n +1} +C \qquad (n \ne -1) \\
\int \frac{dx}{x} &=& \log |x| + C
\end{eqnarray}
積分を導入するにあたって、
として、幾つかの関数の、ほぼ自明な積分の式が紹介されていきます。
積分の個人的解釈 - 数式で独楽する
積分について - 数式で独楽する
で個人的な解釈を述べていますが、
やはり教科書に載っているように、微分を先に学んでから積分をやった方が、数式を用いた理解は楽であると考えています。
冒頭で掲げた式は、
\begin{eqnarray}
(x^{n+1} +C)' &=& (n+1)x^n \qquad (n \ne -1) \\
(\log |x| +C)' &=& \frac{1}{x}
\end{eqnarray}
から、理解できます。
定数の微分は0であるため、定数が幾らでも微分を行うと同じ関数になります。
逆に、積分を行うと、任意定数が現れることになります。
式中ではこの任意定数をCで表しています。
このCを「積分定数」といいます。
べき乗の微分 その3 - 数式で独楽する
対数関数の微分 - 数式で独楽する
なお、第1の式は、nが実数であれば成り立ちます。
