のとき
\begin{eqnarray}
\sin \alpha +\sin (\alpha +\theta) +\sin (\alpha +2\theta) +\cdots +\sin (\alpha +(n -1) \, \theta) \\
= \cfrac{\sin \left( \alpha +\cfrac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \, \sin \cfrac{n\theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}}
\end{eqnarray}
正弦の引数を等差数列として和をとったものです。
オイラーの公式を使わずに導くことも可能です。
三角関数の数列の和その2 - 数式で独楽する
積和の公式、和積の公式を用いることになります。
積和の公式 - 数式で独楽する
和積の公式 - 数式で独楽する
\begin{equation}
2\sin \left \{ \alpha +(k -1) \theta \right \} \sin \frac{\theta}{2} = \cos \left( \alpha +\frac{2k -3}{2} \, \theta \right) -\cos \left( \alpha +\frac{2k -1}{2} \, \theta \right)
\end{equation}でとして、辺々相加えます。
求める和をとすると、
\begin{equation}
2S \sin \frac{\theta}{2} = \cos \left( \alpha +\frac{\theta}{2} \right) -\sin \left( \alpha -\frac{2n -1}{2} \, \theta \right)
\end{equation}となります。
右辺を変形して、
\begin{equation}
2S \sin \frac{\theta}{2} = 2\sin \left( \alpha +\frac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \sin \frac{n\theta}{2}
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
S = \cfrac{\sin \left( \alpha +\cfrac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \, \sin \cfrac{n\theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}} \\
\end{equation}となります。
