変数分離形の例 その1

変数分離形の微分方程式の例を幾つか紹介していきます。
本稿はその第1弾です。

\begin{equation}
y' = -\frac{x}{y} \tag{1}
\end{equation}

まず'を別の表記にします。
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{y} \tag{1'}
\end{equation}

この式は、次のように変形を分離できます。
\begin{equation}
y \ dy = -x \ dx
\end{equation}

両辺を積分します。
\begin{eqnarray}
\int y \ dy &=& - \int x \ dx \\
\frac{1}{2} y^2 &=& - \frac{1}{2} x^2 +\frac{C}{2}\tag{2}
\end{eqnarray}
任意定数は両辺に出てきますが、任意なので右辺にまとめられます。
便宜上、任意定数はとしました。

式(2)の分母を払います。
\begin{equation}
y^2 = - x^2 + C
\end{equation}式を整理すると、解が得られます。
\begin{equation}
x^2 + y^2 = C
\end{equation}

なお。
\begin{equation}
R^2 = C
\end{equation}と置くと、
\begin{equation}
x^2 + y^2 = R^2
\end{equation}となります。
これは、平面直交座標系の原点を中心とする半径の円ですね。

円周上の任意の点における接線と、中心と接点を結ぶ直線は、常に直交するということです。