対数関数の微分
\begin{equation}
(\log |x|)' = \frac{1}{x}
\end{equation}
の場合
指数関数と対数関数は、互いに逆関数になっています。
\begin{equation}
y = \log x
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
x = e^y
\end{equation}です。
対数関数の微分を、合成関数の微分
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \displaystyle \frac{dx}{dy} \ }
\end{equation}より求めることができます。
合成関数の微分 - 数式で独楽する
逆関数の微分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\frac{dx}{dy} = e^y =x
\end{equation}であるので、
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{e^y} \\
&=& \frac{1}{x}
\end{eqnarray}
となります。
つまり、
\begin{equation}
(\log x)' = \frac{1}{x}
\end{equation}です。
の場合
\begin{equation}
y = \log(-x)
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
-x = e^y
\end{equation}です。このとき、
\begin{equation}
\frac{dx}{dy} = -e^y
\end{equation}です。したがって、
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{\ \displaystyle \frac{dx}{dy} \ } \\
&=& \frac{1}{-e^y} \\
&=& \frac{1}{x}
\end{eqnarray}
となります。
つまり、
\begin{equation}
(\log (-x))' = \frac{1}{x}
\end{equation}です。
まとめ
両者をまとめると、
\begin{equation}
(\log |x|)' = \frac{1}{x}
\end{equation}となります。
