余接の微分を検算する

\begin{equation}
y' = -(1+y^2)
\end{equation}を満たすの関数を求めよ。

先の記事
余接の微分 - 数式で独楽する
で、
\begin{equation}
(\cot x)' = -(1+\cot^2 x)
\end{equation}であることを述べました。
本記事では、
\begin{equation}
y' = -(1+y^2) \tag{1}
\end{equation}を満たす関数は
\begin{equation}
y = \cot x
\end{equation}であるかどうかを見ていきます。
つまり、式(1)で表される微分方程式を解いていきます。

まず、式(1)を次のように書きます。
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = -(1+y^2)
\end{equation}次に、
\begin{equation}
\frac{dy}{1+y^2} = -dx
\end{equation}と書きます。
これは、

• 左辺は変数で表す
• 右辺は変数で表す

つまり2つの変数を式の両辺で分離する

• 変数分離型

と呼ばれる方法です。

両辺を積分します。
\begin{equation}
\int \frac{dy}{1+y^2} = -\int dx \tag{2}
\end{equation}

ここで、
\begin{eqnarray}
右辺 &=& -x + C \\
左辺 &=& \tan^{-1}y + C'
\end{eqnarray}
です。
ここでは積分定数です。
定数の微分は0なので、積分を行うと任意定数が必ず出てきます。
左辺の微分については、
角の大きさを表現する その3 - 数式で独楽する
の後半に解説しています。

式(2)の両辺に積分定数が出てくるので、右辺にまとめてとします。
\begin{equation}
\tan^{-1}y = -x + C
\end{equation}したがって、
\begin{equation}
y = \tan (-x +C) \tag{3}
\end{equation}となります。

ここで、定数をと置き換えます。式(3)は、
\begin{eqnarray}
y &=& \tan \left( \frac{\pi}{2} -x-C \right) \\
&=& \cot (x+C)
\end{eqnarray}
となります。

関数は、式(1)の解であることが分かりました。