積を入れると和を返す関数

正の数に対し、
\begin{eqnarray}
f(xy) &=& f(x)+f(y) \tag{1} \\
f'(1) &=& a \quad (\ne 0) \tag{2}
\end{eqnarray}
を満たす関数を求めよ。

私たちは対数関数を習う時に、この関数がを満たすことを知りますが、
式(1), (2)より導いていきましょう。

まず式(1)でとします。
\begin{equation}
f(1) = f(1) + f(1)
\end{equation}となります。これより、
\begin{equation}
f(1) = 0 \tag{3}
\end{equation}となります。

式(1)でをで微分します。変数はと無関係と見なします。
\begin{equation}
f'(xy)x = f'(y)
\end{equation}さらにとすると、
\begin{equation}
f(x)x = f'(1)\tag{4}
\end{equation}となります。

与えられた式(2)により、式(4)は、
\begin{equation}
f'(x) = \frac{a}{x} \tag{5}
\end{equation}となります。

式(5)を解くと、
\begin{equation}
f(x) = a \log x +C \quad(C:定数) \tag{6}
\end{equation}となります。
初めの前提でなので絶対値記号は外れています。

式(2)により、
\begin{equation}
f(1) = C = 0
\end{equation}となります。
よって式(6)は
\begin{equation}
f(x) = a\log x
\end{equation}すなわち対数関数となります。

以上をまとめると、次のようになります。

\begin{eqnarray}
f(xy) &=& f(x)+f(y) \\
f'(1) &=& a \quad (\ne 0)
\end{eqnarray}
を満たす関数は、
\begin{equation}
f(x) = a \log x
\end{equation}である。