対数関数を
\begin{equation}
\log x := \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1}
\end{equation}で定義する考え方があります。
式(1)で定義した関数が、対数関数の性質を持ち、その他の関係を満たしているかどうかを確かめていきます。
本稿はその5つ目です。
逆関数の性質を見ていきます。
関数expを
\begin{equation}
\exp x := \log^{-1} x \tag{2}
\end{equation}と定義します。
和を積に変換
\begin{equation}
X = \log x, \quad Y = \log y
\end{equation}とすると、式(2)のため、
\begin{equation}
\exp X = x, \quad \exp Y = y
\end{equation}です。
一方、
\begin{equation}
\log xy = \log x + \log y
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\log (\exp X \exp Y) = X + Y
\end{equation}となります。したがって、
\begin{equation}
\exp(X + Y) = \exp X \exp Y \tag{3}
\end{equation}が得られます。
和を関数に入れると、関数の値の積を返します。
定数倍をべき乗に変換
\begin{equation}
\log x^r = r \log x
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\log (\exp X)^r = rX
\end{equation}です。したがって、
\begin{equation}
\exp (rX) = (\exp X)^r \tag{4}
\end{equation}を得ます。
定数倍を関数に入れると、関数の積のべき乗を返します。
まとめ
以上のことから
\begin{eqnarray}
\log x &:=& \int_1^x \frac{dt}{t} \tag{1} \\
\exp x &:=& \log^{-1}x \tag{2}
\end{eqnarray}で定義する関数expは式(3), (4)を満たし、私たちの知っている指数関数と同じ性質を持つことが分かります。
おまけ1
\begin{equation}
\log 1 = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\exp 0 = 1
\end{equation}です。
おまけ2
\begin{equation}
\exp 1 = e
\end{equation}とすると、式(4)より
\begin{eqnarray}
\exp x &=& \exp (1 \cdot x) \\
&=& (\exp 1)^x \\
&=& e^x
\end{eqnarray}となります。
