定数$b,c,p,q,r$に対し、
\begin{equation}
x^4 +bx +c = (x^2 +px +q)(x^2 -px +r)
\end{equation}が$x$についての恒等式であるとする。(1)
であるとき、$q,r$を$p,b$で表せ。
(2)
\begin{equation}
b = (a^2 +1)(a +2), \quad c = -\left( a +\frac{3}{4} \right) (a^2 +1)
\end{equation}と表されているとき、有理数を係数とする$t$についての整式$f(t)$と $g(t)$で
\begin{equation}
\left \{ p^2 -(a^2 +1) \right \} \left \{ p^4 +f(a) p^2 +g(a) \right \} =0
\end{equation}を満たすものを1組求めよ。(3) $a$を定数とする。$x$の4次式
\begin{equation}
x^4 +(a^2 +1)(a +2)\, x -\left( a +\frac{3}{4} \right) (a^2 +1)
\end{equation}が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるような$a$をすべて求めよ。
小問(1)の解答例
与えられた恒等式は
\begin{eqnarray}
x^4 +bx +c &=& (x^2 +px +q)(x^2 -px +r) \\
&=& x^4 -px^3 +rx^2 +px^3 -p^2 x^2 +prx +qx^2 -pqx +q r \\
&=& x^4 +(-p^2 +q +r) \, x^2 -p(q -r) \, x +q r
\end{eqnarray}なので、係数を比較して
\begin{eqnarray}
-p^2 +q +r &=& 0 \tag{1.1} \\
-p(q -r) &=& b \tag{1.2} \\
q r &=& c \tag{1.3}
\end{eqnarray}を得ます。
式(1.1), (1.2)とより
\begin{eqnarray}
q +r &=& p^2 \\
q -r &=& -\frac{b}{p}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、
\begin{eqnarray}
q &=& \frac{1}{2} \left( p^2 -\frac{b}{p} \right) \tag{1.4} \\
r &=& \frac{1}{2} \left( p^2 +\frac{b}{p} \right) \tag{1.5}
\end{eqnarray}となります。
小問(2)の解答例
式(1.3)~(1.5)と$c$の条件より
\begin{eqnarray}
\frac{1}{4} \left( p^4 -\frac{b^2}{p^2} \right) &=& -\left( a +\frac{3}{4} \right) (a^2 +1) \\
p^6 -b^2 &=& -p^2 (4a +3)(a^2 +1)
\end{eqnarray}となります。さらに$b$の条件を用いて
\begin{equation}
p^6 +(4a +3)(a^2 +1)\, p^2 -(a^2 +1)^2 (a +2)^2 =0 \tag{2.1}
\end{equation}を得ます。
一方、
\begin{eqnarray}
&&\left \{ p^2 -(a^2 +1) \right \} \left \{ p^4 +f(a) p^2 +g(a) \right \} \\
&& = p^6 +f(a) \, p^4 -g(a) \, p^2 -(a^2 +1) \, p^4 -(a^2 +1)\, f(a) \, p^2 -(a^2 +1) \, g(a) \\
&& = p^6 +\left \{ f(a) -(a^2 +1) \right \} p^4 + \left \{ g(a) -(a^2 +1) \, f(a) \right \} p^2 -(a^2 +1) \, f(a) =0 \tag{2.2}
\end{eqnarray}です。
式(2.1), (2.2)は同一のものなので、係数を比較して
\begin{eqnarray}
f(a) -(a^2 +1) &=& 0 \tag{2.3} \\
g(a) -(a^2 +1) \, f(a) &=& (4a +3)(a^2 +1) \tag{2.4} \\
(a^2 +1)\, g(a) &=& (a^2 +1)^2 (a +2)^2 \tag{2.5}
\end{eqnarray}を得ます。
これより、
\begin{eqnarray}
f(a) &=& a^2 +1 \\
g(a) &=& (a^2 +1)(a +2)^2
\end{eqnarray}とすれば式(2.3), (2.5)を満たすことが分かります。
このとき、
\begin{eqnarray}
g(a) -(a^2 +1) \, f(a) &=& (a^2 +1)(a +2)^2 - (a^2 +1)^2 \\
&=& (a^2 +1) \left \{ (a^2 +4a +4) -(a^2 +1) \right \} \\
&=& (a^2 +1)(4a +3)
\end{eqnarray}となり、式(2.4)を満たします。
以上より、求める関数は、
\begin{eqnarray}
f(t) &=& t^2 +1 \\
g(t) &=& (t^2 +1)(t +2)^2
\end{eqnarray}となります。
小問(1), (2)の解説
恒等式なので係数は全て等しい、ということに尽きます。
小問(2)では、式(2.1)を強引に因数分解して
\begin{equation}
\left \{ p^2 -(a^2 +1) \right \} \left \{ p^4 +(a^2 +1) p^2 +(a^2 +1)(a +2)^2 \right \} =0
\end{equation}とすることもできます。
