同次形
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = f \left( \frac{y}{x} \right)
\end{equation}
微分方程式は、解くことができないことがざらにありますが、
解くことができる形が幾つかあります。
本稿では「同次形」を紹介します。
適当な変換を行うと、簡単な形になることがあります。
冒頭で掲げた形のものが、「同次形」です。
導関数がの関数で表すことのできるものをいいます。
同次形になることが分かれば、簡単な形になります。
新たな変数uを
\begin{equation}
u = \frac{y}{x}
\end{equation}とします。すると、
\begin{equation}
y = ux
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = x \frac{du}{dx} + u
\end{equation}となります。
これを元の式に代入すると、
\begin{equation}
x \frac{du}{dx} + u = f(u)
\end{equation}となります。
整理すると、
\begin{equation}
\frac{du}{dx} = \frac{f(u) -u}{x}
\end{equation}と、変数分離形に帰着します。
