双曲線とは、
2定点までの距離の和が一定である点の集合
です。
そして、この定点のことを「焦点(focus)」といいます。
では、数式で記述するとどのようになるのか、見ていきましょう。
焦点の座標をF(f, 0), F'(-f, 0)、点PをP(x, y)として、点Pの集合を数式で表していきます。
まず、PFおよびPF'の長さは次のようになります。
\begin{eqnarray}
\mathrm{PF} &=& \sqrt{(x -f)^2 + y^2} \tag{1} \\
\mathrm{PF'} &=& \sqrt{(x +f)^2 + y^2} \tag{2}
\end{eqnarray}
そして、「2定点までの距離の差が一定」を、
\begin{equation}
|\mathrm{PF} - \mathrm{PF'}| = 2d \tag{3}
\end{equation}と表すこととします。なお、です。
式(3)に式(1), (2)を代入します。ここから先は、しばらく式変形が続きます。
\begin{equation}
\sqrt{(x -f)^2 + y^2} - \sqrt{(x +f)^2 + y^2} = \pm 2d
\end{equation}根号と複号がややこしい形です。
\begin{equation}
\sqrt{(x -f)^2 + y^2} = \pm 2d +\sqrt{(x +f)^2 + y^2}
\end{equation}として両辺を平方すると、左辺の根号が外れます。
\begin{equation}
(x -f)^2 + y^2 = 4d^2 \pm 4d\sqrt{(x +f)^2 + y^2} + (x +f)^2 +y^2
\end{equation} 両辺のが消えます。
\begin{equation}
(x -f)^2 = 4d^2 \pm 4d\sqrt{(x +f)^2 + y^2} + (x +f)^2
\end{equation}両辺のを展開します。
\begin{equation}
x^2 -2fx +f^2 = 4d^2 \pm 4d\sqrt{(x +f)^2 + y^2} + x^2 +2fx +f^2
\end{equation}両辺のが消えます。
\begin{equation}
-2fx = 4d^2 \pm 4d\sqrt{(x +f)^2 + y^2} +2fx
\end{equation}式を整理します。ついでに両辺を4で割ります。
\begin{equation}
\pm d\sqrt{(x +f)^2 + y^2} = -d^2 - fx
\end{equation}両辺を平方すると、根号と複号が外れます。
\begin{equation}
d^2 \left \{ (x +f)^2 + y^2 \right \} = (d^2 + fx)^2
\end{equation}展開します。
\begin{equation}
d^2 x^2 + 2d^2 fx + d^2 f^2 + d^2 y^2 = d^4 + 2d^2 fx +f^2 x^2
\end{equation}両辺のが消えます。さらに整理します。
\begin{equation}
(d^2 -f^2)x^2 + d^2 y^2 = d^2 (d^2 - f^2)
\end{equation}両辺ので割ると、次のようになります。
\begin{equation}
\frac{x^2}{d^2} + \frac{y^2}{d^2 - f^2} =1
\end{equation}すっきりとした楕円と同じ式が出て来ました。
しかし、今回の場合はなので、
\begin{equation}
\frac{x^2}{d^2} - \frac{y^2}{f^2 - d^2} =1
\end{equation}とするのが適当です。
こちらは、漸近線が
\begin{equation}
y = \pm \frac{\sqrt{f^2 - d^2}}{d}\ x
\end{equation}である双曲線の式です。
2定点までの距離の差が一定である点の集合は、双曲線であることが分かります。
