京大 1991年前期理系第6問その3

関数 $y=f(x) \ (x \geqq 0)$ は次の条件①、②を満たしている。
①　 $f(x)$ は微分可能で $f'(x)$ は連続、かつ $f(x) > 0$
②　正の定数 $a$ があって $\displaystyle \int_0^x \bigl( f(t) \bigr)^{-a} dt = \int_a^{f(x)} \left( e^{- \frac{t^2}{2}} + t^{-a} \right) dt$
(1) ②の等式の両辺を $x$ について微分して得られる( $y$ の満たす)微分方程式を書け。また $f(0)$ の値を求めよ。
(2) 正の定数 $b,c$ があって次の不等式(イ)、(ロ)を満たしていることを示せ。
(イ)　 $b \leqq f'(x) \leqq 1$
(ロ)　 $\displaystyle 0 \leqq f(x) \left( \frac{1}{f'(x)} -1 \right) \leqq c$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x)$ を求めよ。また $f'(x)$ の最小値を求めよ。

小問(1)の解答例・抄
小問(2)(イ)の解答例
小問(2)(ロ)の解答例
小問(2)(ロ)の解説
小問(3)の解答例

続きです。

小問(1)の解答例・抄

京大 1991年前期理系第6問その1 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
y' &=& \frac{1}{y^a e^{- \frac{y^2}{2}} +1} \tag{1.1} \\
f(0) &=& a \tag{1.3}
\end{eqnarray}

小問(2)(イ)の解答例

京大 1991年前期理系第6問その2 - 数式で独楽する

小問(2)(ロ)の解答例

式(1.1)を変形していきます。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{f'(x)} &=& y^a e^{- \frac{y^2}{2}} +1 \\
\frac{1}{f'(x)} -1 &=& y^a e^{- \frac{y^2}{2}} \\
f(x) \left( \frac{1}{f'(x)} -1 \right) &=& y^{a+1} e^{- \frac{y^2}{2}}
\end{eqnarray}ここで、
\begin{equation}
h(y) = y^{a+1} e^{- \frac{y^2}{2}}
\end{equation}と置きます。
導関数は、
\begin{eqnarray}
h'(y) &=& (a+1) y^a e^{- \frac{y^2}{2}} + y^{a+1} e^{- \frac{y^2}{2}} (-y) \\
&=& (a+1 -y^2) \ y^a e^{- \frac{y^2}{2}} \\
&=& (\sqrt{a+1} +y)(\sqrt{a+1} -y) \ y^a e^{- \frac{y^2}{2}}
\end{eqnarray}となります。

関数 $h(y)$ は $y=\sqrt{a+1}$ に極値をとります。定義域は $y \geqq a$ なので、 $a$ の値でこの範囲に極値が存在するかどうかが変わります。境界は、
\begin{eqnarray}
a &=& \sqrt{a+1} \\
a^2 &=& a + 1 \\
a^2 -a -1 &=& 0 \\
\therefore \quad a &=& \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad (\because \ a> 0)
\end{eqnarray}です。

したがって、関数 $h(y)$ の増減は、次のようになります。

$a \geqq \displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の場合
\begin{array}{c|ccc}
\hline
y & a & \cdots & \infty \\ \hline
h'(y) & & - & \\
h(y) & h(a) & \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}

$\displaystyle a < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ の場合
\begin{array}{c|ccccc}
\hline
y & a & \cdots & \sqrt{a+1} & \cdots & \infty \\ \hline
h'(y) & & + & 0 & - & \\
h(y) & h(a) & \nearrow & h(\sqrt{a+1}) & \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}