2001年前期京大理系第1問 - 数式で独楽する

$xy$ 平面上の曲線 $C \ : \ y = x^3$ 上の点Pにおける接線を、Pを中心にして反時計回りに45°回転させて得られる直線を $L$ とする。 $C$ と $L$ が相異なる3点で交わるような点Pの範囲を図示せよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
y = x^3 \tag{1}
\end{equation}より
\begin{equation}
y' = 3x^2
\end{equation}なので、点P $(p, \ p^3)$ における曲線 $C$ の接線の式は、
\begin{equation}
y = 3p^2 (x -p) +p^3
\end{equation}です。
接線と $x$ 軸のなす角 $\alpha$ は
\begin{equation}
\tan \alpha = 3p^2
\end{equation}で表現できます。
これより、直線 $L$ の傾き
\begin{eqnarray}
\tan (\alpha +45^\circ) &=& \frac{\tan \alpha +\tan 45^\circ}{1 -\tan \alpha \tan 45^\circ} \\
&=& \frac{3p^2 +1}{1- 3p^2}
\end{eqnarray}を得ます。
加法定理・正接の加法定理 - 数式で独楽する
したがって、直線 $L$ の式は
\begin{equation}
y = \frac{1 +3p^2}{1 -3p^2} \, (x -p) +p^3 \tag{2}
\end{equation}となります。

式(1), (2)より、曲線 $C$ と直線 $L$ の交点の $x$ 座標は
\begin{equation}
x^3 -p^3 = \frac{1 +3p^2}{1 -3p^2} \, (x -p) \tag{3}
\end{equation}を満たします。
$x \ne p$ なる交点は、
\begin{equation}
x^2 +px +p^2 = \frac{1 +3p^2}{1 -3p^2} \tag{}
\end{equation}を満たします。式(3)の両辺を $x -p$ で割っています。
整理すると、
\begin{equation}
\left( x +\frac{p}{2} \right)^2 +\frac{3}{4} \, p^2 +\frac{3p^2 +1}{3p^2 -1} = 0
\end{equation}となります。
これが相異なる2実数解を持つ条件は、
\begin{equation}
\frac{3}{4} \, p^2 +\frac{3p^2 +1}{3p^2 -1} < 0 \tag{4}
\end{equation}です。

(i) $3p^2 -1 > 0$ の場合
式(4)の分母を払い、
\begin{eqnarray}
3p^2 \left( 3p^2 -1 \right) +4 \left( 3p^2 +1 \right) &<& 0 \\
9p^4 +9p^2 +4 &<& 0
\end{eqnarray}となりますが、これを満たす実数 $p$ は存在しません。

(ii) $3p^2 -1 < 0$ の場合
式(4)の分母を払うと不等号が反転し、
\begin{equation}
9p^4 +9p^2 +4 > 0
\end{equation}となります。全ての実数 $p$ がこれを満たします。

(iii) $3p^2 -1 = 0$ の場合
直線 $L$ は
\begin{equation}
x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation}となります。どちらも曲線 $C$ とは1点Pのみで交わります。

以上より、求める $p$ は
\begin{equation}
3p^2 -1 < 0
\end{equation}を満たします。
左辺を因数分解します。
\begin{equation}
\left( \sqrt{3} p +1 \right) \left( \sqrt{3} -1 \right) < 0
\end{equation}求める実数 $p$ の範囲は、
\begin{equation}
-\frac{1}{\sqrt{3}} < p < \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation}となります。

点Pの範囲は、曲線 $C \ : \ y = x^3$ の
\begin{equation}
-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation}の部分です。
図示すると、下図の緑と紫が重なる部分です。両端は含みません。