直線までの距離と定点までの距離が等しいの点の集合

放物線とは、

• 直線までの距離と
• 定点までの距離

が等しい点の集合

です。

そして、

• この定点のことを「焦点(focus)」
• この直線のことを「準線(directrix)」

といいます。

では、数式で記述するとどのようになるのか、見ていきましょう。

焦点の座標をF(f, 0)、準線の式をx=-f、点PをP(x, y)、点Pから準線に下ろした垂線の足をH(-f, y)として、点Pの集合を数式で表していきます。
まず、PFおよびPHの長さは次のようになります。
\begin{eqnarray}
\mathrm{PF} &=& \sqrt{(x -f)^2 + y^2} \tag{1} \\
\mathrm{PH} &=& |x +f| \tag{2}
\end{eqnarray}
PF=PHなので、
\begin{equation}
|x + f| = \sqrt{(x -f)^2 + y^2}
\end{equation}です。
両辺を平方します。
\begin{equation}
(x + f)^2 = (x - f)^2 + y^2
\end{equation}展開します。
\begin{equation}
x^2 + 2fx + f^2 = x^2 - 2fx + f^2 + y^2
\end{equation}整理するとが消え、
\begin{equation}
y^2 = 4fx
\end{equation}となります。

定点までの距離と直線までの距離が等しい点の集合である放物線は、
\begin{equation}
y^2 = 4fx
\end{equation}であることが分かります。